标量三重积（Scalar Triple Product）

$$\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$$

它的结果是一个标量,表示由三个向量$/(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)$构成的平行六面体体积。

$$\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c) = \begin{vmatrix} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z \end{vmatrix}$$

循环交换不改变结果：

$$\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c) = \mathbf b\cdot(\mathbf c\times\mathbf a) = \mathbf c\cdot(\mathbf a\times\mathbf b)$$

但是交换任意两个向量会变号：

$$\mathbf a\cdot(\mathbf c\times\mathbf b) = -\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$$

Snell 折射定律

设入射方向$I$，法线$N$，通常约定$I$指向表面。 定义：

$$\cosθ_{i}​=−I⋅N$$

根据 Snell 定律：

$$n_{1}​\sin\theta_{i}​=n_{2}\sin\theta_{t}$$

令$η=\frac{n_{2}}{n_{1}}​​$​，用三角变换，则：

$$k=\cos^2θ_{t}​=1−η^2(1−\cos^2θ_{i}​)​$$

判别：若$k<0$则无实数解，发生全反射。否则正常折射，方向：

$$T=ηI+(η\cosθ_{i}​​−\sqrt{k }​)N$$

Möller–Trumbore 光线-三角形求交算法

射线：

$$P=O+tD$$

三角形：

$$P=P_{0}​+uE_{1}​+vE_{2}$$

所以：

$$O+tD=P_{0}+uE_{1}​+vE_{2}$$

整理得非齐次方程组：

$$tD−uE_{1}​−vE_{2}=P_{0}​−O$$

写成矩阵形式：

$$\begin{bmatrix} −D, E_{1}, E_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} t \\ u \\ v \\ \end{bmatrix}​​​=P_{0}​−O=S​$$

根据 Cramer 法则，方程组 $Ax=c$ 有解当且仅当 $\det A\ne 0$，且 $x_{i}=\frac{\det A_{i}}{\det A}$，$A_{i}$ 为第 $i$ 列被 $c$ 替代的系数矩阵。 因此有

$$t=\det (S,E_1,E_2)/\det(-D,E_1,E_2)$$

根据向量三重积性质

$$t=\frac{S \times E_{1} \cdot E_{2}}{E_{1}\cdot D \times E_{2}}$$

同理：

$$u=\frac{S\cdot D \times E_{2}}{E_{1}\cdot D \times E_{2}}$$ $$v = \frac{S \times E_{1} \cdot D}{E_{1}\cdot D\times E_{2}}$$

即有

$$\begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix}= \frac{1}{E_{1}S_{2}}\begin{bmatrix} S_{1}E_{1} \\ S_{2}S \\ S_{1}D \\ \end{bmatrix}$$

其中

$$\begin{align} S_{1}&=S\times E_{1}\\ S_{2}&=D\times E_{2}\\ S&=P_{0}-O \end{align}$$

且

$$\det A=E_{1}S_{2}\ne 0$$

一次性解出三个几何参数。

BRDF

立体角

立体角 $\omega$ 具有如下微分形式：

$$d \omega = \frac{\mathrm{d} A}{r^2}$$

面积微元在球面坐标系下可以写成：

$$dA = (r\mathrm{d}\theta)(r \sin \theta \mathrm{d}\phi)=r^2\sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$$

因此：

$$\mathrm{d}\omega = \frac{\mathrm{d}A}{r^2}=\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$$

Radiant Intensity：辐射强度

光源向某个方向，每单位立体角辐射多少功率。

$$I(ω)=\frac{\mathrm{d}Φ}{\mathrm{d}ω}$$

其中：

• $Φ$：光通量Radiant Flux
• $ω$：立体角
• $\mathrm{d}\Phi$：微小立体角

Irradiance：辐照度/辉度

单位面积表面接收到多少辐射功率。公式：

$$E=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}A}$$

Radiance：辐亮度

从某个表面位置、沿某个方向传播的单位面积、单位立体角上的辐射功率。

定义：

$$L=\frac{\mathrm{d}^2Φ}{\mathrm{d}A_{⊥}​\mathrm{d}ω}$$

其中：

$$\mathrm{d}A_{\perp}​=\mathrm{d}A\cos\theta$$

因此：

$$L=\frac{\mathrm{d}^2Φ​}{\mathrm{d}A\cosθ\mathrm{d}ω}$$

单位：

$$W/(m^2⋅sr)​$$

Lambert’s Cosine Law

如果光从方向$\omega$入射到表面：

$$\mathrm{d}E=L(\omega)\cos\theta\mathrm{d}\omega$$

其中：

$$\cos\theta=n⋅\omega$$

因此：

$$E=\int_{\Omega}​L(\omega)(n⋅\omega)\mathrm{d}\omega$$

BRDF（Bidirectional Reflectance Distribution Function，双向反射分布函数）

物理定义：

$$f_{r}​(x,ω_{i}​,ω_{o}​)=\frac{\mathrm{d}L_{o}​(x,ω_{o}​)}{\mathrm{d}E_{i}​(x,ω_{i}​)}​$$

​其中：

• $x$：表面上的位置
• $ω_{i}$：入射光方向（向外）
• $ω_{o}$：出射光方向
• $\mathrm{d}L_{o}$​：沿 ωo​ 方向产生的出射 Radiance
• $\mathrm{d}E_{i}$​：来自 ωi​ 方向的微分 Irradiance

即

$$f_{r}​(ω_{i}​,ω_{o}​)=\frac{\mathrm{d}L_{o}​}{L_i\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i}​$$

移项积分：

$$L_{o}​(ω_{o}​)=\int_{\Omega}​f_{r}​(ω_{i}​,ω_{o}​)L_{i}​(ω_{i}​)\cos\theta_{i} \mathrm{d} ω_{i}​​$$

如果考虑自发光，即有渲染方程（rendering equation）：

$$L_{o}​(ω_{o}​)=L_{e}(\omega_{o})+\int_{\Omega}​f_{r}​(ω_{i}​,ω_{o}​)L_{i}​(ω_{i}​)(n\cdot\omega_{i}) \mathrm{d} ω_{i}$$

光源推广到多次反射，简写为

$$L=E+KL$$

其中$L$为递归定义的。 Monte Carlo 积分：

$$I≈ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{​f(x_{i})}{p(x_{i})​}$$

代入得Monte Carlo光线追踪方程：

$$L_{o}​≈L_{e}​+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{​f_{r}​(ω_{i}​,ω_{o}​)L_{i}​(ω_{i}​)\cos\theta_{i}}{p(\omega_{i})​}​​​$$

为了提高效率，在光源$\mathrm{d}A$上采样（直接光照），立体角和光源面积微分的关系如下：

$$\mathrm{d}\omega=\frac{\mathrm{d}A \cos \theta '}{||x'-x||^2}$$

重写渲染方程

$$L_{o}​(ω_{o}​)=\int_{\Omega}​f_{r}​(ω_{i}​,ω_{o}​)L_{i}​(ω_{i}​)\frac{\cos\theta \cos \theta '}{||x'-x||^2}\mathrm{d}A​​$$

其他间接光照，采取俄罗斯轮盘赌（RR）算法。